Στατική ΙΙ (2013-14)

[andskia]

Αν λες αυτό με την άρθρωση 4 στο κεντρο πάνω στη συμμετρία, για δοκίμασε να τη βγάλεις.
Λόγω συμμετρίας η τέμνουσα εκεί είναι μηδέν οπότε στην ουσία αφαιρείς ένα βαθμό υπερστατικότητας και όχι δυο.

[mqnuser]

Καλή συνέχεια με το διάβασμα και καλά κουράγια σε όλους μας!

Ευχαριστώ πολύ.


ΠΡΟΣΟΧΗ, στις Παρατηρήσεις και Επίλυση Ποιοτικών Διαγραμμάτων (από nicklaou), τα τελευταία ποιοτικά διαγράμματα είναι λάθος.

Στο φορέα, λόγω συμμετρίας, υπάρχουν μόνο οι στροφές φ2 και φ3=-φ2. Δεν υπάρχουν μετακινήσεις στους κόμβους 2 και 3, λόγω της ύπαρξης του μέλους 2-3 (και προφανώς των 2-5 και 3-6). Άρα δεν υπάρχει μετακίνηση και στον κόμβο 7, λόγω της ύπαρξης των μελών 2-7 και 3-7.

Άρα, λόγω των στροφών φ2 και φ3, στα υποστυλώματα η ελαστική γραμμή βρίσκεται από την άλλη πλευρά από αυτή που δείχνεται, με συνέπεια οι ροπές και οι τέμνουσες να είναι αντίθετες από αυτές που δείχνονται.

Αν θεωρήσουμε ΜΟΝΟ τη δύναμη P (χωρίς τα κατανεμημένα φορτία), ο φορέας είναι κινηματικά πλήρως ορισμένος, δεν υπάρχουν μετατοπίσεις ή στροφές, στο ζύγωμα δεν υπάρχουν ροπές και τέμνουσες, μόνο αξονικές, οι δύο συνιστώσες της P στις αξονικές διευθύνσεις. Προφανώς υπάρχει και μια αξονική στο μέλος 2-3, που κλείνει το τρίγωνο, λόγω της λοξότητας των αξονικών των μελών 2-7 και 3-7. Τέλος, στα υποστυλώματα υπάρχουν μόνο αξονικές ίσες με P/2.

Σε συνδυασμό με τα κατανεμημένα φορτία και τις στροφές που συνεπάγονται, παίρνουμε τα τελικά ποιοτικά διαγράμματα.

[mqnuser]

Τα σωστά φυλλάδιά μου με τις γραμμές επιρροής είναι στην ενότητα "ΜΑΘΗΜΑΤΑ" στην προσωπική μου ιστοσελίδα:

http://users.ntua.gr/tpatsios/COURSES_EL.HTML

Άνοιξε τον παραπάνω σύνδεσμο, κάνε scroll down στον πίνακα με τις ασκήσεις για ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙ, και κατέβασε "ΓΡΑΜΜΕΣ ΕΠΙΡΡΡΟΗΣ - Μέρος (1/2)" και "ΓΡΑΜΜΕΣ ΕΠΙΡΡΡΟΗΣ - Μέρος (2/2)".

Κάποιος έχει γκαντεμιάσει τα ποιοτικά διαγράμματα.

Το τελευταίο ποιοτικό διάγραμμα [M] στο αρχείο QUALITATIVE_M,Q,N_DIAGRAMS.PDF είναι λάθος.

Η ελαστική γραμμή που δίνεται είναι αυτή της στροφής φ, και όχι η τελική, που προκύπτει από την επαλληλία αυτής με την ελαστική γραμμή του κατανεμημένου φορτίου. Όμως, οι τελικοί υπολογισμοί των διαγραμμάτων γίνονται βάσει αυτής της ελαστικής γραμμής και όχι της τελικής. Άρα προκύπτει λάθος ιδίως στα αριστερά, γιατί δεν έχει ληφθεί υπόψη η συνδρομή του κατανεμημένου φορτίου. Η ροπή M12 όχι μόνο δεν είναι θετική, αλλά είναι και κατά απόλυτη τιμή μεγαλύτερη από την M21. Η πραγματική τιμή της M12 είναι προφανώς [ql2/12 - (2EI/l)φ], ενώ της M21είναι [ql2/12 - (4EI/l)φ], λίγο μικρότερη από την προηγούμενη.

Επίσης, στο αρχείο INFLUENCE_LINES_-_PART_2.PDF, στη σελίδα 8/20, η ""τροφή" για σκέψη" είναι πράγματι ""τροφή" για σκέψη", αφού το διάγραμμα των τεμνουσών που δίνεται είναι λάθος. Στη θέση του P=1, το άλμα του διαγράμματος είναι (+0.65) - (-0.65) = 1.30 και όχι 1.00 όπως θα έπρεπε.

Κατά τα άλλα, οι σημειώσεις είναι αρκετά χρήσιμες, ιδίως για εξάσκηση.

[lybe33]

Εσύ αγαπητέ mqnuser, δίνεις το μάθημα? Μεγάλη αγάπη βλέπω με τα ποιοτικά...

[mqnuser]

Το τελευταίο ποιοτικό διάγραμμα [M] στο αρχείο QUALITATIVE_M,Q,N_DIAGRAMS.PDF είναι λάθος.

Αυτά τα λέει η νύστα... Για την αποκατάσταση της αλήθειας, η πραγματική τιμή της M12 είναι [-ql2/12 + (2EI/l)φ], ενώ της M21είναι [-ql2/12 - (4EI/l)φ]. Το κατάλαβα τη δεύτερη φορά που το είδα αλλά το site δεν επιτρέπει τροποποίηση του μηνύματος.

Άρα το διάγραμμα που δίνεται έχει σωστή μορφή. Λόγω της στροφής, η τιμή της αριστερής ροπής που έχει προκύψει από το κατανεμημένο φορτίο έχει σίγουρα μετάθεση προς τα θετικά, το αν η τελική τιμή της καταλήγει να είναι μικρή αρνητική ή περνάει στα θετικά όπως δείχνεται, είναι ένα ζήτημα προς διερεύνηση.

Εσύ αγαπητέ mqnuser, δίνεις το μάθημα? Μεγάλη αγάπη βλέπω με τα ποιοτικά...

Τρελαίνομαι για τα ποιοτικά διαγράμματα. Αν τα αντιμετωπίσεις με τα φορτία σε παγιωμένο φορέα, που προκαλούν ελαστική γραμμή και δράσεις παγίωσης, που προκαλούν κινηματικά μεγέθη που ξεκλειδώνονται, που ξαναπροκαλούν δράσεις, που ξαναπροκαλούν κινηματικά μεγέθη, και ούτω καθεξής, σε συνδυασμό με τις εξισώσεις ισορροπίας, τις περισσότερες φορές βρίσκεις τη λύση σύντομα και σωστά. Ευτυχώς, σήμερα τα ποιοτικά διαγράμματα και οι γραμμές επιρροής ήταν πολύ εύκολου επιπέδου (για εμένα τουλάχιστον, αφού έκανα 2 λεπτά για τις γραμμές επιρροής και 20 λεπτά για τα ποιοτικά διαγράμματα με ανάλυση ελαστικής γραμμής και πλήρη επεξήγηση), όπως και το θέμα της μεθόδου των παραμορφώσεων, που ήταν ό,τι πιο εύκολο και βατό θα μπορούσε να μπει. Μόνο 2 στροφές. Όχι μετατοπίσεις, όχι τέμνουσες, όχι ισορροπίες δυνάμεων και πράσινα άλογα. Και οι εξισώσεις των ροπών ήταν απλοϊκές. Τώρα το θέμα της μεθόδου των δυνάμεων, δεν το συζητώ. Δικτυώμα σε συνδυασμό με τριαρθρωτό τόξο... Βοήθεια... Περίμενα να δοθεί καμιά άσκηση με τρελά υπερστατικά και να την επιλύσω σε μιάμιση ώρα. Αυτά τα "απλά", ούτε σε 3 ώρες δεν τα προλαβαίνω. Ίσως αυτό βέβαια να σημαίνει ότι κάποια στιγμή πρέπει να τα δω και αυτά λίγο πιο σοβαρά, για να μπαλωθούν τα κενά. Για να είμαι ειλικρινής, χλωμό το βλέπω, αλλά η ελπίδα πεθαίνει τελευταία. Δεν πειράζει, υγεία να έχουμε.

Καλά αποτελέσματα σε όλους.

[Theodore]

Το τελευταίο ποιοτικό διάγραμμα [M] στο αρχείο QUALITATIVE_M,Q,N_DIAGRAMS.PDF είναι λάθος.

Αυτά τα λέει η νύστα... Για την αποκατάσταση της αλήθειας, η πραγματική τιμή της M12 είναι [-ql2/12 + (2EI/l)φ], ενώ της M21είναι [-ql2/12 - (4EI/l)φ]. Το κατάλαβα τη δεύτερη φορά που το είδα αλλά το site δεν επιτρέπει τροποποίηση του μηνύματος.

Άρα το διάγραμμα που δίνεται έχει σωστή μορφή.

Been there, done that. Τα ξενύχτια μόνο σε μπελάδες σε βάζουνε. Όσο περνάνε τα χρόνια, οι συνέπειές τους είναι όλο και χειρότερες (βλ. "hangover").

Λόγω της στροφής, η τιμή της αριστερής ροπής που έχει προκύψει από το κατανεμημένο φορτίο έχει σίγουρα μετάθεση προς τα θετικά, το αν η τελική τιμή της καταλήγει να είναι μικρή αρνητική ή περνάει στα θετικά όπως δείχνεται, είναι ένα ζήτημα προς διερεύνηση.

Υποθέτω ότι αναφέρεσαι στο ζύγωμα που βρίσκεται αριστερά του κόμβου σχήματος "Τ", στη σελίδα (5/6) του "QUALITATIVE_M,Q,N_DIAGRAMS.PDF". Το ότι η ροπή στα αριστερά του ζυγώματος (θέση πάκτωσης) θα είναι θετική (εφελκύει το θετικό σύνορο της δοκού) και ότι η ροπή στο δεξί άκρο του αριστερού ζυγώματος θα είναι αρνητική (θλίβει το θετικό σύνορο της δοκού), προκύπτει από τη φορά του κινηματικού μεγέθους φ (το οποίο εξαρτάται από την γεωμετρία του φορέα και το ασκούμενο φορτίο). Η μεταξύ δύο άκρων αμφίπακτου ραβδωτού στοιχείου μεταβολή της ροπής λόγω της στροφής "φ" του ενός άκρου του είναι γραμμική. Η παραβολή λόγω του κατανεμημένου φορτίου τοποθετείται επί αυτού του γραμμικώς μεταβαλλόμενου διαγράμματος (δες προσεκτικά την διακεκομμένη γραμμή και την κρέμαση της παραβολής που έχω σημειώσει, και θα καταλάβεις τί προσπαθώ να σου πω - περί επαλληλίας ο λόγος...! ).

Επίσης, στο αρχείο INFLUENCE_LINES_-_PART_2.PDF, στη σελίδα 8/20, η ""τροφή" για σκέψη" είναι πράγματι ""τροφή" για σκέψη", αφού το διάγραμμα των τεμνουσών που δίνεται είναι λάθος. Στη θέση του P=1, το άλμα του διαγράμματος είναι (+0.65) - (-0.65) = 1.30 και όχι 1.00 όπως θα έπρεπε.

Όντως, το άθροισμα των τεμνουσών εκατέρωθεν του σημειακού φορτίου στο άνοιγμα του ζυγώματος οφείλει να εξισορροπεί το φορτίο.

Καλά αποτελέσματα σε όλους.

Επίσης, κι από μένα!

[mqnuser]

Υποθέτω ότι αναφέρεσαι στο ζύγωμα που βρίσκεται αριστερά του κόμβου σχήματος "Τ", στη σελίδα (5/6) του "QUALITATIVE_M,Q,N_DIAGRAMS.PDF". Το ότι η ροπή στα αριστερά του ζυγώματος (θέση πάκτωσης) θα είναι θετική (εφελκύει το θετικό σύνορο της δοκού) και ότι η ροπή στο δεξί άκρο του αριστερού ζυγώματος θα είναι αρνητική (θλίβει το θετικό σύνορο της δοκού), προκύπτει από τη φορά του κινηματικού μεγέθους φ (το οποίο εξαρτάται από την γεωμετρία του φορέα και το ασκούμενο φορτίο). Η μεταξύ δύο άκρων αμφίπακτου ραβδωτού στοιχείου μεταβολή της ροπής λόγω της στροφής "φ" του ενός άκρου του είναι γραμμική. Η παραβολή λόγω του κατανεμημένου φορτίου τοποθετείται επί αυτού του γραμμικώς μεταβαλλόμενου διαγράμματος (δες προσεκτικά την διακεκομμένη γραμμή και την κρέμαση της παραβολής που έχω σημειώσει, και θα καταλάβεις τί προσπαθώ να σου πω - περί επαλληλίας ο λόγος...! ).

Δεν εννοώ ακριβώς αυτό. Προφανώς και γνωρίζω ότι η μεταβολή της ροπής λόγω της στροφής "φ" του ενός άκρου ενός ραβδωτού στοιχείου είναι γραμμική, όπως και ότι η παραβολή λόγω του κατανεμημένου φορτίου τοποθετείται επί κάποιου γραμμικώς μεταβαλλόμενου διαγράμματος, όχι όμως του προηγουμένου γραμμικώς μεταβαλλόμενου διαγράμματος, αλλά του αθροίσματος αυτού με το σταθερό γραμμικό διάγραμμα των ροπών παγίωσης του κατανεμημένου φορτίου.

Αυτό που εξ' αρχής με οδήγησε στην εν μέρει λανθασμένη σκέψη, είναι το γεγονός ότι η ροπή στα αριστερά δεν είναι μόνο η θετική λόγω της στροφής "φ". Είναι το άθροισμα αυτής της θετικής και μιας μεγάλης αρνητικής λόγω της ροπής παγίωσης του κατανεμημένου φορτίου (αντίστοιχα και στην άλλη πλευρά). Άρα το άθροισμα ίσως και να είναι αρνητικό, πάντως μικρότερο από αυτό στα δεξιά, άρα η κλίση της διακεκομμένης γραμμής είναι σωστή, άλλα η τελική κλίση είναι πιο οριζόντια και ίσως η επικόμβια ροπή στα αριστερά να είναι τελικά αρνητική και όχι θετική όπως παρουσιάζεται στο σχήμα.

Ο οίστρος αυτής της ανακάλυψης με οδήγησε εν μέσω νύχτας και νύστας στη λανθασμένη θεώρηση ότι η κλίση της διακεκομμένης γραμμής είναι ανάποδη, αλλά ίσως και αυτό που είχα πει αρχικά να περιέχει μισή αλήθεια, μιας και από την παραπάνω απάντηση φαίνεται ότι η παραβολή ίσως να έχει κατασκευαστεί με θεώρηση στα αριστερά μόνο της θετικής ροπής λόγω της στροφής "φ".

[Theodore]

Δεν εννοώ ακριβώς αυτό. Προφανώς και γνωρίζω ότι η μεταβολή της ροπής λόγω της στροφής "φ" του ενός άκρου ενός ραβδωτού στοιχείου είναι γραμμική, όπως και ότι η παραβολή λόγω του κατανεμημένου φορτίου τοποθετείται επί κάποιου γραμμικώς μεταβαλλόμενου διαγράμματος, όχι όμως του προηγουμένου γραμμικώς μεταβαλλόμενου διαγράμματος, αλλά του αθροίσματος αυτού με το σταθερό γραμμικό διάγραμμα των ροπών παγίωσης του κατανεμημένου φορτίου.

Το ίδιο πράγμα λέμε. Η παραβολή στην αμφίπακτη είναι η παραβολή της αμφιέρειστης, μετακινηθείσα κατά "q*L^2/12" προς τα αρνητικά. Με την παραβολή της αμφίπακτης επαλληλίζεις εν προκειμένω. Αλλιώς δε θα ικανοποιούταν η ισορροπία ροπών στον κόμβο σχήματος "Τ" (π.χ. αν έκανες έλεγχο μετά).

Άρα το άθροισμα ίσως και να είναι αρνητικό, πάντως μικρότερο από αυτό στα δεξιά, άρα η κλίση της διακεκομμένης γραμμής είναι σωστή, άλλα η τελική κλίση είναι πιο οριζόντια και ίσως η επικόμβια ροπή στα αριστερά να είναι τελικά αρνητική και όχι θετική όπως παρουσιάζεται στο σχήμα.

Στο συγκεκριμένο φορέα (υπό την δεδομένη φόρτιση, γεωμετρία, κλπ) δεν νομίζω ότι μπορεί να συμβεί αυτό (ο πρόβολος στα δεξιά την κάνει την "ζημιά"...!). Δες την άσκηση #2 που έχω στην μέθοδο των παραμορφώσεων. Εκεί, λόγω της πάκτωσης στο δεξί άκρο του δεξιού ζυγώματος, η στροφή "φ" του κόμβου "Τ" είναι μικρότερη. Επίσης, η υποχώρηση "u" του υποστυλώματος συνεισφέρει στο να διατηρηθεί αρνητική η ροπή στο αριστερό άκρο του αριστερού ζυγώματος.

[antony]

Παιδιά τα χθεσινά θέματα με κάθε επιφύλαξη (όπως τα θυμάμαι εγώ). Οποιαδήποτε διόρθωση ευπρόσδεκτη.

[ps179]

Αν θυμάμαι καλά στο θέμα 1 το κατανεμημένο φορτίο ήταν 20 kN/m.
Στο θέμα 3 τα μήκη ήταν 4, 3, 2, τα κατακόρυφα (το μεγαλύτερο χαμηλότερα) και 5 το οριζόντιο.
Επίσης, στο θέμα 2 με τα ποιοτικά το σχήμα ήταν λίγο διαφορετικό: δεν είχε άρθρωση στη γωνία αλλά στη στήριξη του δεξιά στύλου με το έδαφος
και επιπλέον ζητούσε σαν δεύτερο ερώτημα πώς μεταβάλλονται τα διαγράμματα M, Q αν βάλουμε άρθρωση στη θέση της πάκτωσης στον αριστερό στύλο.

Ας επιβεβαιώσει/διαψεύσει και κάποιος άλλος!